1: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:45:20 ID:3Fz2rbfK6
平面幾何の問題なんだけど、証明して欲しい。

[問題]
平面Cに点Aと点B(≠点A)が存在する時、点Aと点Bの最短距離は無向線分ABのみである。
no title

引用元: 数学得意な奴マジレス頼む

2: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:46:39 ID:yQUT64Fag
宿題は自分でやらなきゃダメよ!

3: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:47:17 ID:3Fz2rbfK6
唯一存在するってどうやって証明すんの?

4: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:47:18 ID:zlmOyib9X
やってもいいけど、俺がやったってチクるから

>>4
チクらないよ!

>>5
ちげえよ俺がチクるんだよ

6: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:48:14 ID:rK2GMU2Ql
それがそうだということが決まっているから…

>>6
定義なのかもしれんが証明することを求められていて困っているのじゃ…

7: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:48:37 ID:1cWH4w99j
自明


Q.E.D.

>>7
反証出来たらまずいんだけど自明である理由を書かなきゃなんよ。

8: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:48:44 ID:LjiYchVNc
仮定して計算して長さ比較して棄却しては

>>8
仮定するも点Aと点Bの結び方たくさんあり過ぎて分からんorz

>>12
変数定義して一般化する

13: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:51:44 ID:cJGFfXFX0
さんかくけいA 点D がおそいかかってきた!

>>13
点Pにて迎え撃つ…!

14: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:51:53 ID:1cWH4w99j
つYahoo知恵袋

>>14
ヤフ知恵レス遅くてなぁ…

17: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:53:03 ID:JAmDSoAC3
線分ABが直線ゆえに最短なんだから長さが直線<曲線であることを証明すればいいんでない?

>>17
直線故に最短(そして唯一)、てところをどう証明する?

>>20
例えばAB間を通るSin曲線を作ってそれの長さを導きだす
この曲線の長さが線分よりも長ければ曲線>直線の傾向があるっていえるんでない?

>>29
傾向は図れるけど「で?」の一言で突っぱねられそうです…そういうアイデアがポンとでないおいら…

19: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:53:43 ID:3Fz2rbfK6
おーぷんのみんな高校生大学生ばかりだろ?無能なおいらに知恵貸して下さいm(_ _)m

21: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:54:34 ID:1cWH4w99j
ちな何年?

>>21
高1でつ

23: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:55:41 ID:1cWH4w99j
高校でこんなことやってるのか......
問題集の問題?

>>23
数Aなんだけど先生が独自の問題ばかり出すのよ

24: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:55:43 ID:gCAGVkUG6
★教えてクソ五大要素★

1 読まない
2 調べない
3 試さない
4 理解力が足りない
5 人を利用することしか頭にない

           YES → 【見つかった?】 ─ YES → じゃあ聞くな死ね
         /                  \
【探した?】                        NO → なら、ねぇよ
         \
            NO → 死ね

>>24
すまん…すまん…

25: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:56:38 ID:3R1ov7tzp
ここで京大理学部卒のおれが
通りますよーーー

>>25
先輩ー涙

30: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:58:25 ID:j2xTvXhY4
背理法使えば解けるだろ

>>30
もし二つあったら…みたいな背理法は考えるのだがそのあとプロセスがノーアイディーア/(^o^)\

31: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:58:41 ID:1cWH4w99j
ベクトルの一意性は自明としていいだろやってないんだし
平面だから2次元→つまり線形独立なベクトルはひとつしか存在しえない

>>31
詳しくおなしゃす…おなしゃす…

32: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)20:59:30 ID:JkB0RqMO2
______
|←接点|
. ̄.|| ̄        ┗( P )┓三
  ||           ┏┗   三

38: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:03:29 ID:DaSKQCWkd
こう?
線分AB上に存在しない点Dを通過する線も最短と仮定する
EからABに垂線を引き交わる点をEとする
三平方がどうとかなので
AE+BE<AD+BD
仮定に矛盾するのでABだけだろJK

>>38
なんかすごい!
けどどうしてだろう全然図示できない…

39: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:03:37 ID:cJGFfXFX0
ABを直径とした円の中点取ったらその中点からABに引いた線が最短の説明ができなかった…
中卒には無理…

>>39
円を使う視点があったのか…!

40: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:03:46 ID:ZI86WGT8y
数Aだろ?
ベクトルなし縛りかよ

>>40
ベクトルは使わない方向でおなしゃす…

41: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:04:45 ID:1cWH4w99j
数学の最小値の問題解く時に垂直条件使うじゃん........

>>41
内積0だと垂直とかそういうの?

42: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:05:38 ID:X3zkHcjWq
よくわからないけど、線分ABの直線上以外に新しい点(x.y)を設定して、その点を経由するAB>線分ABを証明すればいいんじゃないの?

>>42
そんな気はする。距離の比較は出来るのだが唯一性が証明できぬん

>>50
線分AB上にない点を通ると最短距離じゃない=最短距離は線分ABのみ
でいいじゃない

>>56
最短距離じゃ無いことは行けそうなのだが、唯一であるってびしっと言えなくてさ…

46: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:08:16 ID:1cWH4w99j
こんなんでいいんだよ
http://open2ch.net/p/news4vip-1402400720-46.pngno title

>>46
点Dは…

>>49 すまんスマホからだとこれ以上書けないけど適当に線分AB内に書いておけばいいじゃん

>>51
ちょい考えてみるわ
ありがとね!

47: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:08:54 ID:B9EijcE93
三角形の成立条件使うんじゃだめなん?

>>47
三角不等式のこと?

54: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:12:05 ID:1cWH4w99j
だから唯一性は証明しなくていいんだって........

>>54
え、そうなの?

57: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:15:42 ID:gdGEohdTi
中学生の心を折るスレはここですか?

>>57
中学生でもええんやで

58: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:16:29 ID:vtylwo6zd
三平方でいける

>>58
そう思いたい。

60: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:18:08 ID:YuioZ0ZeO
あんなー平面Cの上に第三の点を考えるんやーAともBとも違う点なー
仮に第三の点をXとするだろー
そしたら普通三角形できるきがするだろー
最終的にはAX+BXが最小になるのはAB、つまりはなんかもー嫌になったわー

>>60
点Yとか点Zとかは考えなくても良いのでしょうか…

>>63
三平方から頂点が増えれば増えるほど距離が延びるのは自明

>>68
そ、そうなのか

>>71
ABXの三角形とABXYの四角形のどっちが距離長いか感覚的にわかるだろ?

>>74
分かります感覚的には。

64: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:20:20 ID:YuioZ0ZeO
>>63
点Xは平面C上の任意の点にしてしまうんだー
そしたらその必要ないだろー

>>64
て思うじゃん?でもさ、ぶっちゃけ点Aと点Bを結ぶ線なんて無限にあるじゃん?任意の一点で足りるん?

>>66
三平方から頂点が増えれば増えるほど距離が延びるのは自明

>>66
線分AB以外のAとBを結ぶ線がいっぱいあるとするじゃん?
でもその線はどれも絶対線分AB上にない点を通るじゃん?
その点を任意の点Xとするじゃん?
点Xを通る線=線分ABじゃない線じゃん?

>>75
曲線は考えないの?

65: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:21:08 ID:1cWH4w99j
任意の点は一個で十分だよ..........

>>65
何でですか先輩…?涙

67: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:21:37 ID:lUhS6fc4c
普通に解いてるお前らに惚れるわ

>>67
俺も惚れるわ

70: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:22:23 ID:YuioZ0ZeO
だから言ってるだろー
最初っからABと考えずに、AX+BXで考えろー

>>70
うぃーす

78: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:31:38 ID:YuioZ0ZeO
曲線って事はAB上にはない点X通るだろー

79: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:32:35 ID:YuioZ0ZeO
最終的に考えたいのは線分AB上にあるXを通る直線が一番短いのを証明するんだー

80: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:33:28 ID:YuioZ0ZeO
だから曲線は関係ないぞー
実際曲線だったら遠くなるじゃないかー

>>80
感覚的には分かります涙
感覚で解いていいならどれだけ簡単かと…orz

81: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:34:52 ID:YuioZ0ZeO
つか学年は?
中学生だったら三角関数とか使ったらマズイって事か?

>>81
高1ですけど、別に三角関数だろうと級数だろうと微分積分使ってもいいです。ただ、どうもベクトルは先生が嫌いなようでして…

83: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:36:17 ID:YuioZ0ZeO
だからAX+BX=ABを証明するのがゴールなんだって

85: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:40:17 ID:cJGFfXFX0
このスレが解決されないと俺は直線が最短だと認識できなくなってしまう…

>>85
最短なはずなのにね…

87: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:43:20 ID:B9EijcE93
三角形証明しても曲線には関係ない気がしてきた
曲線を無限に分割すれば多角形ですみたいな論で行くか

>>87
点Aと点Bを結ぶ曲線fという関数が与えられた時、曲線fの長さが最小となる関数を求めるみたいな感じですか?

89: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)21:56:52 ID:3Fz2rbfK6
こうか。

座標::
A(a,p)、B(b,q) 、A≠B

パラメータ::
x = t
y = f(x)

とすると、fの長さLは
L = ∫[a,b]( √( 1 + ( f'(x) )^2 ) )dx

ここから、最小値Lを求める。


90: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)22:07:48 ID:3Fz2rbfK6
ダメだ詰む

91: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)22:12:18 ID:YuioZ0ZeO
んじゃ補助線とか増やして解くしかないな。
まぁ流れはXがAB上にないと仮定して、AX+BX-AB>0である事を証明し
次にAB上にXがあると仮定してAX+BX-AB=0を証明して
以上の証明よりAB直線が最短と

92: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)22:14:11 ID:YuioZ0ZeO
AB上に無い時はXからABに対して垂直な線を引くと直角三角形二つできるだろ?
直角三角形なら三角関数で各辺の長さというか関係導けるよな?

93: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)22:19:29 ID:YuioZ0ZeO
あ、あとXがABの延長線上にある場合も考えよう。
まぁこれは簡単だと思うけど。

94: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)22:27:41 ID:YuioZ0ZeO
当然こういう場合も考えよう
http://open2ch.net/p/news4vip-1402400720-94.pngno title

95: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)23:00:30 ID:NNqQREMpR
適当な点P作って余弦定理で反例あげりゃいんじゃないの?

97: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)23:22:53 ID:vw1AydJtu
直線が最短距離になりました。

98: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)23:25:41 ID:vw1AydJtu
高1なのかこれ??

99: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)23:25:51 ID:vw1AydJtu
>>1消えた?

100: 名無しさん@おーぷん 2014/06/10(火)23:26:23 ID:vw1AydJtu
宿題は自力でやれよー